Реактивное сопротивление
В электрических и электронных системах реактивное сопротивление (также реактанс) — это сопротивление элемента схемы, вызванное изменением тока или напряжения из-за индуктивности или ёмкости этого элемента. Понятие реактивного сопротивления аналогично электрическому сопротивлению, но оно несколько отличается в деталях.
В векторном анализе реактивное сопротивление используется для вычисления амплитудных и фазовых изменений синусоидального переменного тока, проходящего через элемент цепи. Обозначается символом [math]\displaystyle{ \scriptstyle{X} }[/math]. Идеальный резистор имеет нулевое реактивное сопротивление, тогда как идеальные катушки индуктивности и конденсаторы имеют, соответственно нулевое и бесконечно большое сопротивление — то есть, реагируют на ток только по наличию реактивного сопротивления. Величина реактивного сопротивления катушки индуктивности увеличивается пропорционально увеличению частоты, в то время как величина реактивного сопротивления конденсатора уменьшается пропорционально увеличению частоты.
Ёмкостное сопротивление
Конденсатор состоит из двух проводников, разделённых изолятором, также известным как диэлектрик.
Ёмкостное сопротивление — это сопротивление изменению напряжения на элементе. Ёмкостное сопротивление [math]\displaystyle{ \scriptstyle{X_C} }[/math] обратно пропорционально частоте сигнала [math]\displaystyle{ \scriptstyle{f} }[/math] (или угловой частоте ω) и ёмкости [math]\displaystyle{ \scriptstyle{C} }[/math][1].
В литературе существует два варианта определения реактивного сопротивления для конденсатора. Одним из них является использование единого понятия реактивного сопротивления в качестве мнимой части полного сопротивления, и, в этом случае, реактивное сопротивление конденсатора является отрицательным числом[1][2][3]:
- [math]\displaystyle{ X_C = -\frac {1} {\omega C} = -\frac {1} {2\pi f C} }[/math].
Другой выбор состоит в том, чтобы определить ёмкостное сопротивление как положительное число[4][5][6],
- [math]\displaystyle{ X_C = \frac {1} {\omega C} = \frac {1} {2\pi f C} }[/math].
В этом случае нужно помнить о добавлении отрицательного знака к импедансу то есть [math]\displaystyle{ Z_c=-jX_c }[/math].
На низких частотах конденсатор эквивалентен разомкнутой цепи, если в диэлектрике ток не течёт.
Постоянное напряжение, приложенное к конденсатору, вызывает накопление положительного заряда на одной обкладке и накопление отрицательного заряда на другой обкладке; электрическое поле за счёт накопленного заряда является источником, который противодействует току. Когда потенциал, связанный с зарядом, точно уравновешивает приложенное напряжение, ток падает до нуля.
Приводимый в действие источником переменного тока (идеальный источник переменного тока), конденсатор будет накапливать только ограниченное количество заряда, прежде чем разность потенциалов изменит полярность и заряд вернётся к источнику. Чем выше частота, тем меньше накапливается заряд и тем меньше противодействие току.
Индуктивное сопротивление
Индуктивное реактивное сопротивление — это свойство, проявляемое индуктивностью, и индуктивное реактивное сопротивление существует благодаря тому, что электрический ток создаёт вокруг него магнитное поле. В контексте цепи переменного тока (хотя эта концепция применяется при любом изменении тока), это магнитное поле постоянно изменяется в результате изменения тока, который меняется во времени. Именно это изменение магнитного поля создаёт другой электрический ток в том же проводе (противо-ЭДС), в направлении, противоположном потоку тока, изначально ответственного за создание магнитного поля. Это явление известно как закон Ленца. Следовательно, индуктивное сопротивление — это противодействие изменению тока через элемент.
Для идеальной катушки индуктивности в цепи переменного тока сдерживающее влияние на изменение протекания тока приводит к задержке или сдвигу фаз переменного тока относительно переменного напряжения. В частности, идеальная индуктивность (без сопротивления) вызовет отставание тока от напряжения на четверть цикла или на 90°.
В электроэнергетических системах индуктивное реактивное сопротивление (и ёмкостное реактивное сопротивление, однако индуктивное реактивное сопротивление более распространено) может ограничивать пропускную способность линии электропередач переменного тока, поскольку мощность не передаётся полностью, когда напряжение и ток находятся в противофазе (подробно описано выше). То есть ток будет течь для противофазной системы, однако реальная мощность в определённые моменты времени не будет передаваться, потому что будут моменты, в течение которых мгновенный ток будет положительным, а мгновенное напряжение отрицательным, или наоборот, подразумевая отрицательную мощность передачи. Следовательно, реальная работа не выполняется, когда передача энергии является «отрицательной». Однако ток всё ещё течёт, даже когда система находится в противофазе, что приводит к нагреву линий электропередачи из-за протекания тока. Следовательно, линии электропередачи могут только сильно нагреваться (иначе они физически сильно прогибаются из-за тепла, расширяющего металлические линии электропередачи), поэтому операторы линий электропередачи имеют «потолок» в отношении величины тока, который может протекать через данную линию, и чрезмерное индуктивное сопротивление ограничивает мощность линии. Поставщики электроэнергии используют конденсаторы для сдвига фазы и минимизации потерь в зависимости от схемы использования.
Индуктивное реактивное сопротивление [math]\displaystyle{ \scriptstyle{X_L} }[/math] пропорционально частоте синусоидального сигнала [math]\displaystyle{ \scriptstyle{f} }[/math] и индуктивности [math]\displaystyle{ \scriptstyle{L} }[/math], которая зависит от геометрических размеров и формы индуктивности.
- [math]\displaystyle{ X_L = \omega L = 2\pi f L }[/math]
Средний ток, протекающий через индуктивность [math]\displaystyle{ \scriptstyle{L} }[/math] последовательно с синусоидальным источником переменного напряжения среднеквадратичной амплитуды [math]\displaystyle{ \scriptstyle{A} }[/math] и частоты [math]\displaystyle{ \scriptstyle{f} }[/math] равен:
- [math]\displaystyle{ I_L = {A \over \omega L} = {A \over 2\pi f L} }[/math].
Поскольку прямоугольная волна (источник прямоугольного сигнала) имеет несколько амплитуд на синусоидальных гармониках (согласно теореме Фурье), средний ток, протекающий через индуктивность [math]\displaystyle{ \scriptstyle{L} }[/math], включенную последовательно с прямоугольным источником переменного напряжения среднеквадратичной амплитуды [math]\displaystyle{ \scriptstyle{A} }[/math] и частоты [math]\displaystyle{ \scriptstyle{f} }[/math], равен:
- [math]\displaystyle{ I_L = {A \pi^2 \over 8 \omega L} = {A\pi \over 16 f L} }[/math]
создавая иллюзию как если бы реактивное сопротивление прямоугольной волны на 19 % меньше [math]\displaystyle{ X_L = {16 \over \pi} f L }[/math] , чем реактивное сопротивление синусоидального сигнала с той же частотой:
Любой проводник конечных размеров имеет индуктивность; индуктивность обычно делается из электромагнитных катушек, состоящих из множества витков провода. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея возникает противо-ЭДС [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\mathcal{E}} }[/math] (ток, противоположный напряжению) в проводнике из-за скорости изменения плотности магнитного потока [math]\displaystyle{ \scriptstyle{B} }[/math] через токовую петлю.
- [math]\displaystyle{ \mathcal{E} = -{{d\Phi_B} \over dt} }[/math]
А для индуктивности состоящей из [math]\displaystyle{ \scriptstyle N }[/math] витков соответственно
- [math]\displaystyle{ \mathcal{E} = -N{d\Phi_B \over dt} }[/math]
Противо-ЭДС — это источник противодействия току. Постоянный ток имеет нулевую скорость изменения и рассматривает катушку индуктивности как обычный проводник (так как она сделано из материала с низким удельным сопротивлением). Переменный ток имеет усреднённую по времени скорость изменения, которая пропорциональна частоте, что вызывает увеличение индуктивного сопротивления с частотой.
Полное сопротивление
Как реактивное сопротивление [math]\displaystyle{ \scriptstyle{X} }[/math] так и обычное сопротивление [math]\displaystyle{ \scriptstyle{R} }[/math] компоненты импеданса [math]\displaystyle{ \scriptstyle{Z} }[/math].
- [math]\displaystyle{ Z = R + jX }[/math]
где:
- [math]\displaystyle{ Z }[/math] — импеданс, измеряемый в омах;
- [math]\displaystyle{ R }[/math] — сопротивление, измеряемый в омах. Это также действительная часть импеданса: [math]\displaystyle{ {R=\Re{(Z)}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ X }[/math] — реактанс, измеряемый в омах. Это также мнимая часть импеданса: [math]\displaystyle{ {X=\Im{(Z)}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ j }[/math] — мнимая единица, чтобы отличать от тока, который обозначается обычно [math]\displaystyle{ i }[/math].
Когда и конденсатор и индуктор соединены последовательно в цепь, их вклады к полному импедансу цепи противоположны. Ёмкостное сопротивление [math]\displaystyle{ \scriptstyle{X_C} }[/math], и индуктивное сопротивление [math]\displaystyle{ \scriptstyle{X_L} }[/math],
вносят свой вклад в общее реактивное сопротивление [math]\displaystyle{ \scriptstyle{X} }[/math] в виде суммы
- [math]\displaystyle{ {X = X_L + X_C = \omega L -\frac {1} {\omega C}} }[/math]
где:
- [math]\displaystyle{ \scriptstyle{X_L} }[/math] — индуктивное сопротивление, измеряемое в омах;
- [math]\displaystyle{ \scriptstyle{X_C} }[/math] — ёмкостное сопротивление, измеряемое в омах;
- [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — угловая частота, [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] умноженная на частоту в Гц.
Отсюда:[3]
- если [math]\displaystyle{ \scriptstyle X \gt 0 }[/math], то реактанс имеет вид индуктивности;
- если [math]\displaystyle{ \scriptstyle X = 0 }[/math], импеданс чисто реальный;
- если [math]\displaystyle{ \scriptstyle X \lt 0 }[/math], то реактанс имеет вид ёмкости.
Замечание, в случае определения [math]\displaystyle{ \scriptstyle{X_L} }[/math] и [math]\displaystyle{ \scriptstyle{X_C} }[/math] как положительных величин, то формула меняет знак на отрицательный:[5]
- [math]\displaystyle{ {X = X_L - X_C = \omega L -\frac {1} {\omega C}} }[/math],
но конечное значение одинаково.
Фазовые отношения
Фаза напряжения на чисто реактивном устройстве (конденсатор с бесконечным сопротивлением или индуктивности с нулевым сопротивлением) отстаёт от тока на [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\pi/2} }[/math] радиан для ёмкостного сопротивления и опережает ток на [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\pi/2} }[/math] радиан для индуктивного сопротивления. Без знания сопротивления и реактивного сопротивления невозможно определить соотношение между напряжением и током.
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \tilde{Z}_C &= {1 \over \omega C}e^{j(-{\pi \over 2})} = j\left({ -\frac{1}{\omega C}}\right) = jX_C \\ \tilde{Z}_L &= \omega Le^{j{\pi \over 2}} = j\omega L = jX_L\quad \end{align} }[/math]
Для реактивной компоненты синусоидальное напряжение на компоненте находится в квадратуре (разность фаз [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\pi/2} }[/math]) с синусоидальным током через компонент. Компонент попеременно поглощает энергию из контура и затем возвращает энергию в контур, таким образом, чистое реактивное сопротивление не рассеивает мощность.
Примечания
- Shamieh C. и McComb G., Electronics for Dummies, John Wiley & Sons, 2011.
- Мид Р., Основы электроники, Cengage Learning, 2002.
- Young, Hugh D.; Roger A. Freedman; A. Lewis Ford (2004) [1949]. Сирс и Земанский университет физики (11-е изд.). Сан-Франциско : Эддисон Уэсли . ISBN Young, Hugh D.; Roger A. Freedman; A. Lewis Ford (2004) [1949]. Young, Hugh D.; Roger A. Freedman; A. Lewis Ford (2004) [1949].
- ↑ 1,0 1,1 Irwin, D. (2002). Basic Engineering Circuit Analysis, page 274. New York: John Wiley & Sons, Inc.
- ↑ Hayt, W.H., Kimmerly J.E. (2007). Engineering Circuit Analysis, 7th ed., McGraw-Hill, p. 388
- ↑ 3,0 3,1 Glisson, T.H. (2011). Introduction to Circuit Analysis and Design, Springer, p. 408
- ↑ Horowitz P., Hill W. (2015). The Art of Electronics, 3rd ed., p. 42
- ↑ 5,0 5,1 Hughes E., Hiley J., Brown K., Smith I.McK., (2012). Hughes Electrical and Electronic Technology, 11th edition, Pearson, pp. 237—241
- ↑ Robbins, A.H., Miller W. (2012). Circuit Analysis: Theory and Practice, 5th ed., Cengage Learning, pp. 554—558